Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} y^{2} \sqrt{1 + y^{3}} d y$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + y^{3}$ . Allora $d u = 3 y^{2} d y$ , quindi $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + y^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + 3 y^{2}$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $3 y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $y$ in $u = 1 + y^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $y$ in $u = 1 + y^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $9$ e per $1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.5

$\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

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Passaggio 6.2.7.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3})$

Passaggio 6.2.10

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 6.2.11

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 6.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Passaggio 6.2.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.13.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Passaggio 6.2.13.2

Sottrai $2$ da $54$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3}$

Passaggio 6.2.14

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.15

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{52}{9}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{52}{9}$

Forma decimale:

$5.\overline{7}$

Forma numero misto:

$5 \frac{7}{9}$

Passaggio 8