Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Passaggio 1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Passaggio 1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1.1

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{0}{3 \ln (1) - 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.8.1.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.8.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.8.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.3.8.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.8.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \ln (x + 1) - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)]$ .

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Passaggio 3.7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \ln (x + 1)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 3.7.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7.6

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7.7

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7.8

$3$ e $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.9.1.1

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.1.2

$- 3$ e $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{- 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Scomponi $3$ da $3 - 3 (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 3 (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) + 3 (- (x + 1))}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.2.1.3

Scomponi $3$ da $3 (1) + 3 (- (x + 1))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - (x + 1))}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1 \cdot 1)}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1)}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.2.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (- x + 0)}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.2.5

Somma $- x$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 \cdot - 1 x}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.2.6

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 3.9.2.6.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- (3 x)}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.2.6.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- 3 x}{x + 1}}$

Passaggio 3.9.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{- \frac{3 x}{x + 1}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Passaggio 5

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Passaggio 6

Per i valori $x$ tendenti a $0$ da sinistra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$\infty$

Passaggio 7

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Passaggio 8

Per i valori $x$ tendenti a $0$ da destra, i valori della funzione diminuiscono senza limite.

$- \infty$

Passaggio 9

Poiché i limiti destro e sinistro non sono uguali, il limite non esiste.

$Non esiste$