Calcolo Esempi

$e^{\frac{x}{y}} = x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.5

$e^{\frac{x}{y}}$ e $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 1 y^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 1 y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = 1 y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = 1 y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = 1 y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3.2

Riordina i fattori in $e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3.3

Sposta $x$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3.4

Riordina $y e^{\frac{x}{y}}$ e $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = y^{2}$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y e^{\frac{x}{y}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $- x e^{\frac{x}{y}}$ ciascun termine in $- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $- x e^{\frac{x}{y}}$ ciascun termine in $- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ .

$\frac{- y' x e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y' x e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' e^{\frac{x}{y}}}{e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{x}{y}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' e^{\frac{x}{y}}}{e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Passaggio 5.3.2.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Passaggio 5.3.2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}}$

Passaggio 5.3.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{x}{y}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}}$

Passaggio 5.3.2.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y}{x}$