Calcolo Esempi

${(x^{2} + 1)}^{2^{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2^{x}}$ come $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})$ spostando $2^{x}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} + 1$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ e $2^{x}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 5.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 5.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 5.5.2

$2$ e $\frac{2^{x}}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \cdot 2^{x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 6

Moltiplica $2$ per $2^{x}$ .

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Passaggio 6.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1} \cdot 2^{x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 7

$\frac{2^{1 + x}}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)))$

Passaggio 9

Per scrivere $\ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1})$

Passaggio 10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \frac{2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 11

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)}$ e $\frac{2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2} + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \cdot 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.1.1.3

Moltiplica $\ln (2)$ per $1$ .

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.1.3

Semplifica.

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Passaggio 12.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.1.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x})}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.1.4

Riordina i fattori in $e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x})$ .

$\frac{x e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{1 + x} + x^{2} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{x} \ln (2) \ln (x^{2} + 1) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{x} \ln (2) \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.2

Riordina i termini.

$\frac{2^{1 + x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} x + 2^{x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (2) \ln (x^{2} + 1) + 2^{x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \ln (2) \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$