Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{(\sin (2 x))}{\cos^{2} (2 x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Passaggio 1.5.1.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 1.5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${u_{2}}^{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta ${u_{2}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} - {u_{2}}^{- 1}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $- {u_{2}}^{- 1}$ per $\frac{1}{2}$ e per $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- {(\frac{1}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$- \frac{1}{2} (- 1 \cdot 2 + 1^{- 1})$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{2} (- 2 + 1^{- 1})$

Passaggio 7.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2} (- 2 + 1)$

Passaggio 7.2.4

Somma $- 2$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$