Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 + \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 + \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

Passaggio 1.3.5.2

Somma $6$ e $1$ .

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $3$ e $1$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $4$ e per $\frac{7}{2}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

Passaggio 4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

Passaggio 5.2

$\frac{7}{2}$ corrisponde approssimativamente a $3.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

Passaggio 5.4

Moltiplica $4 (\frac{2}{7})$ .

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Passaggio 5.4.1

$4$ e $\frac{2}{7}$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\ln (\frac{8}{7})$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (\frac{8}{7})$

Forma decimale:

$0.13353139 \dots$