Calcolo Esempi

$2 \sin^{2} (x) + 1$

Passaggio 1

Scrivi $2 \sin^{2} (x) + 1$ come funzione.

$f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (x) + 1 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Passaggio 6

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x) + \int d x$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Passaggio 8.3

Moltiplica $\int 1 - \cos (2 x) d x$ per $1$ .

$\int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$x + C + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x + C - \int \cos (2 x) d x + \int d x$

Passaggio 12

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 12.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 12.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 12.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int d x$

Passaggio 13

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u + \int d x$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int d x$

Passaggio 15

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + \int d x$

Passaggio 16

Applica la regola costante.

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + x + C$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Somma $x$ e $x$ .

$C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + 2 x + C$

Passaggio 17.2

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \sin (u) + 2 x + C$

Passaggio 18

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

Passaggio 19

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$