Calcolo Esempi

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 x - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x - x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $\frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{y}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 4.2

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + 0$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0 + 0$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Somma $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ e $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0$

Passaggio 5.2.2

Somma $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ e $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$2 x + y - \frac{1}{x^{2}}$