Calcolo Esempi

$x y + y^{2} = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x + y x' + 2 y$

Passaggio 2.3.2

Riordina i termini.

$y x' + x + 2 y$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y x' + x + 2 y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x' + 2 y = - x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x' = - x - 2 y$

Passaggio 5.2

Dividi per $y$ ciascun termine in $y x' = - x - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y x' = - x - 2 y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$x' = - \frac{x}{y} - 2$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} - 2$