Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{8 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ come $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $8 x$ come $2^{2} \cdot (2 x)$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

Passaggio 1.1.1.3

Aggiungi le parentesi.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

Passaggio 1.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.4

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 1.5

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.7.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.8

Poiché $2^{\frac{3}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.11

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.13.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.16

$2^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.17

Semplifica.

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Passaggio 1.17.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.17.2

Sposta $2^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.18

Moltiplica $2^{\frac{3}{2}}$ per $2^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.18.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.18.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.18.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.18.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.18.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.18.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.18.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $2^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.10

$2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sposta $2^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.11.2

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.12

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.12.1

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.12.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.12.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.12.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$