Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 2 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $4$ da $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $4 \cos^{2} (t)$ come ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 \cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 (\sin (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (t)$ come $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 10.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 10.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Passaggio 10.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.5.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Passaggio 10.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 10.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 10.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 10.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 11

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

Passaggio 13

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{6}$ e per $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Passaggio 14.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Calcola $\sin (u)$ per $\frac{π}{3}$ e per $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Passaggio 14.2.2

Somma $\frac{π}{6}$ e $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Passaggio 14.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

Passaggio 14.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

Passaggio 14.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

Passaggio 14.3.4

Somma $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 14.3.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 14.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Passaggio 14.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Passaggio 14.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Passaggio 14.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Passaggio 14.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Passaggio 14.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 14.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ nel numeratore.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 14.4.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

Passaggio 14.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 14.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Forma decimale:

$0.18117214 \dots$