Calcolo Esempi

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Passaggio 1.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Passaggio 1.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

Passaggio 3

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{4} u^{4}$ per $1 + \ln (3)$ e per $1$ .

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{4}$ e ${(1 + \ln (3))}^{4}$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Passaggio 3.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Forma decimale:

$4.59918613 \dots$