Calcolo Esempi

$\sqrt{\cos (2 x)}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\cos (2 x)}$ come ${\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${\cos (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 7.3

Sposta ${\cos (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 9.1

$\frac{1}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 9.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9.3.2

$- 2$ e $\frac{\sin (2 x)}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9.3.3

Scomponi $2$ da $- 2 \sin (2 x)$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.1

Scomponi $2$ da $2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 ({\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Frazioni separate.

$- (\frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 14.2

Converti da $\frac{1}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ a ${\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{\sin (2 x)}{1} {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 14.3

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$- (\sin (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 14.4

Riordina i fattori in $- \sin (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}} \sin (2 x)$