Calcolo Esempi

$y = 3 x^{3} - x - 3$

Passaggio 1

Scrivi $y = 3 x^{3} - x - 3$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} - 1 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $9 x^{2} - 1$ e $0$ .

$9 x^{2} - 1$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} = 1$

Passaggio 3.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{2} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{2} = 1$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{9}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 3.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 3.4.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 3$ , dell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{3})$ nella derivata prima $9 x^{2} - 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f' (- 3) = 81 - 1$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $1$ da $81$ .

$f' (- 3) = 80$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $80$ .

$80$

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ nella derivata prima $9 x^{2} - 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f' (0) = - 1$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{1}{3}, \infty)$ nella derivata prima $9 x^{2} - 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f' (3) = 81 - 1$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $1$ da $81$ .

$f' (3) = 80$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $80$ .

$80$

Passaggio 8

Poiché la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - \frac{1}{3}$ , allora c'è un punto in cui la derivata cambia segno per $x = - \frac{1}{3}$ .

Passaggio 9

Trova la coordinata y di $- \frac{1}{3}$ per trovare il punto in cui la derivata cambia segno.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova $f (- \frac{1}{3})$ per calcolare la coordinata y di $- \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2

Semplifica $3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{27}$ nel numeratore.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.5.2

Scomponi $3$ da $27$ .

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.5.3

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.7

Moltiplica $- (- \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 9.1.2.2.7.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

Passaggio 9.1.2.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Passaggio 9.1.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Passaggio 9.1.2.3.3

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Passaggio 9.1.2.3.4

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 9.1.2.3.5

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 9.1.2.3.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 9.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 9.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

Passaggio 9.1.2.5.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{2 - 27}{9}$

Passaggio 9.1.2.5.3

Sottrai $27$ da $2$ .

$\frac{- 25}{9}$

Passaggio 9.1.2.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{25}{9}$

Passaggio 9.2

Scrivi le coordinate $x$ e $y$ in forma punto.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

Passaggio 10

Poiché la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{1}{3}$ , allora c'è un punto in cui la derivata cambia segno per $x = \frac{1}{3}$ .

Passaggio 11

Trova la coordinata y di $\frac{1}{3}$ per trovare il punto in cui la derivata cambia segno.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Trova $f (\frac{1}{3})$ per calcolare la coordinata y di $\frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 11.1.2

Semplifica $3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 11.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 11.1.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 11.1.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 11.1.2.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.2.4.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 11.1.2.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 11.1.2.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

Passaggio 11.1.2.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

Passaggio 11.1.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Passaggio 11.1.2.3.3

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Passaggio 11.1.2.3.4

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 11.1.2.3.5

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 11.1.2.3.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 11.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 11.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

Passaggio 11.1.2.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- 2 - 27}{9}$

Passaggio 11.1.2.5.3

Sottrai $27$ da $- 2$ .

$\frac{- 29}{9}$

Passaggio 11.1.2.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{29}{9}$

Passaggio 11.2

Scrivi le coordinate $x$ e $y$ in forma punto.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Passaggio 12

Questi sono i punti in cui la derivata cambia segno.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Passaggio 13