Calcolo Esempi

$2 \cos^{2} (x^{2} + 2)$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos^{2} (x^{2} + 2)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x^{2} + 2)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x^{2} + 2)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x^{2} + 2)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x^{2} + 2)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x^{2} + 2)$ .

$2 (2 \cos (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Passaggio 3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (\cos (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} + 2$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 2$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (- \sin (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) (\sin (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 5.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x + 0)$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x)$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 8 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) x$

Passaggio 5.5.3

Riordina i fattori di $- 8 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) x$ .

$- 8 x \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2)$