Calcolo Esempi

$\int - 2 (5 x + 1) e^{25 x^{2} + 10 x + 25} d x$

Passaggio 1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- 2 \int (5 x + 1) e^{25 x^{2} + 10 x + 25} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 25 x^{2} + 10 x + 25$ . Allora $d u = (50 x + 10) d x$ , quindi $\frac{1}{10} d u = (5 x + 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 25 x^{2} + 10 x + 25$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $25 x^{2} + 10 x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 25]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 x^{2} + 10 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $25$ .

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$50 x + 10 + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Somma $50 x + 10$ e $0$ .

$50 x + 10$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- 2 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

Passaggio 3

$e^{u}$ e $\frac{1}{10}$ .

$- 2 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{10}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{10}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{10} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $10$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{10} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{5} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$- \frac{1}{5} e^{u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $25 x^{2} + 10 x + 25$ .

$- \frac{1}{5} e^{25 x^{2} + 10 x + 25} + C$