Calcolo Esempi

$f (x) = a x^{2} + 7 x - 3$

Passaggio 1

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 2

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = - \frac{7}{2}$

Passaggio 3

Calcola $f (- \frac{7}{2})$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{7}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{7}{2}) = a {(- \frac{7}{2})}^{2} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Passaggio 3.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{4}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Passaggio 3.2.1.6

$a$ e $\frac{49}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{a \cdot 49}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Passaggio 3.2.1.7

Sposta $49$ alla sinistra di $a$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 \cdot a}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Passaggio 3.2.1.8

Moltiplica $7 (- \frac{7}{2})$ .

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Passaggio 3.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - 7 (\frac{7}{2}) - 3$

Passaggio 3.2.1.8.2

$- 7$ e $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} - 3$

Passaggio 3.2.1.8.3

Moltiplica $- 7$ per $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49}{2} - 3$

Passaggio 3.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3$

Passaggio 3.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.2.3

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 6}{2}$

Passaggio 3.2.5.2

Sottrai $6$ da $- 49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 55}{2}$

Passaggio 3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Passaggio 3.2.7

La risposta finale è $\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$ .

$\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Passaggio 4

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(- \frac{7}{2}, \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2})$

Passaggio 5