Calcolo Esempi

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(\tan (x) + \cot (x))}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ come $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ .

$\int (\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Passaggio 4.3.1.1.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3.1.1.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 4.3.1.2.1

Riordina $\tan (x)$ e $\cot (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3.1.2.2

Riscrivi $\tan (x) \cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \tan^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3.1.2.3

Elimina i fattori comuni.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3.1.3

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 4.3.1.3.1

Riscrivi $\cot (x) \tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $\cot (x) \cot (x)$ .

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Passaggio 4.3.1.4.1

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot (x) d x$

Passaggio 4.3.1.4.2

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) d x$

Passaggio 4.3.1.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + {\cot (x)}^{1 + 1} d x$

Passaggio 4.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{2} (x) d x$

Passaggio 4.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 2 + \cot^{2} (x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \tan^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Passaggio 9

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int \cot^{2} (x) d x$

Passaggio 11

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cot^{2} (x)$ come $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 14

Poiché la derivata di $- \cot (x)$ è $\csc^{2} (x)$ , l'integrale di $\csc^{2} (x)$ è $- \cot (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C - \cot (x) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Somma $- x$ e $2 x$ .

$C + \tan (x) + C + x + C - x + C - \cot (x) + C$

Passaggio 15.1.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$C + \tan (x) + C + C + 0 + C - \cot (x) + C$

Passaggio 15.1.3

Somma $C + \tan (x) + C + C$ e $0$ .

$C + \tan (x) + C + C + C - \cot (x) + C$

Passaggio 15.2

Semplifica.

$\tan (x) - \cot (x) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) - \cot (x) + C$