Calcolo Esempi

$\int \frac{x + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Passaggio 1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $x + 2 x^{2} + 3 x^{3}$ .

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Passaggio 1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{x^{1} + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\int \frac{x \cdot 1 + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x$ da $2 x^{2}$ .

$\int \frac{x \cdot 1 + x (2 x) + 3 x^{3}}{x} d x$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $x$ da $3 x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot 1 + x (2 x) + x (3 x^{2})}{x} d x$

Passaggio 1.1.5

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (2 x)$ .

$\int \frac{x \cdot (1 + 2 x) + x (3 x^{2})}{x} d x$

Passaggio 1.1.6

Scomponi $x$ da $x \cdot (1 + 2 x) + x (3 x^{2})$ .

$\int \frac{x (1 + 2 x + 3 x^{2})}{x} d x$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{x (1 + 2 x + 3 x^{2})}{x} d x$

Passaggio 1.2.2

Dividi $1 + 2 x + 3 x^{2}$ per $1$ .

$\int 1 + 2 x + 3 x^{2} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$x + C + \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x + C + 2 \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$x + x^{2} + 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

Passaggio 8.2.2

$3$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + C$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + C$

Passaggio 8.2.3.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + C$