Calcolo Esempi

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ come funzione.

$f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 4

$2^{\sqrt{x}}$ e $\frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{2^{\sqrt{x}} \ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 5

Poiché $\ln (2)$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\ln (2)$ fuori dall'integrale.

$\ln (2) \int \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 6.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 6.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 6.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 6.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Sia $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 7.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 7.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 7.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 7.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 7.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 7.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 7.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 7.1.8

Semplifica.

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Passaggio 7.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\ln (2) \int 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 8

Moltiplica $2$ per $2^{u_{1}}$ .

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Passaggio 8.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\ln (2) \int 2^{1} \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (2) \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 9.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 9.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 9.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (2) \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

L'integrale di $2^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Riscrivi $\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ come $\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

$\ln (2)$ e $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Passaggio 11.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

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Passaggio 11.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Passaggio 11.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \cdot 2^{u_{2}} + C$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $2^{u_{2}}$ per $1$ .

$2^{u_{2}} + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$2^{1 + u_{1}} + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$