Calcolo Esempi

$\frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (5 + 2 x^{4}) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Moltiplica $(5 + 2 x^{4}) x^{- 2}$ .

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{4} x^{- 2} d x$

Passaggio 6

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$\int 5 x^{- 2} + 2 (x^{- 2} x^{4}) d x$

Passaggio 6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{- 2 + 4} d x$

Passaggio 6.3

Somma $- 2$ e $4$ .

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{2} d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 x^{- 2} d x + \int 2 x^{2} d x$

Passaggio 8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x^{- 2} d x + \int 2 x^{2} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$5 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x^{2} d x$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$5 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x^{2} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$5 (- \frac{1}{x}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 \frac{1}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 12.2.2

$- 5$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 5}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 12.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 12.2.4

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- \frac{5}{x} + 2 \frac{x^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.2.5

$2$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{5}{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.3

Riordina i termini.

$- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$