Calcolo Esempi

$\int \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 + \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- d u = \sin (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 + \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $\sin (x)$ da $0$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$- 4 \ln (| u |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 + \cos (x)$ .

$- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$