Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - x^{2} + x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $12 x^{2} - 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 x + 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 2 x + 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$ .

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Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 0.88464617$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 0.88464617$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 0.88464617$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(- 0.88464617)}^{2} - 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1.1

Eleva $- 0.88464617$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 0.78259885 - 2$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $12$ per $0.78259885$ .

$9.3911863 - 2$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $9.3911863$ .

$7.3911863$

Passaggio 10

$x = - 0.88464617$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 0.88464617$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 0.88464617$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.88464617$ nell'espressione.

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Passaggio 11.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $- 0.88464617$ alla potenza di $4$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Passaggio 11.2.2.2

Eleva $- 0.88464617$ alla potenza di $2$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 1 \cdot 0.78259885 - 0.88464617$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0.78259885$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 0.78259885 - 0.88464617$

Passaggio 11.2.3

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Sottrai $0.78259885$ da $0.61246097$ .

$f (- 0.88464617) = - 0.17013788 - 0.88464617$

Passaggio 11.2.3.2

Sottrai $0.88464617$ da $- 0.17013788$ .

$f (- 0.88464617) = - 1.05478406$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- 1.05478406$ .

$y = - 1.05478406$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} - x^{2} + x$ .

$(- 0.88464617, - 1.05478406)$ è un minimo locale

Passaggio 13