Calcolo Esempi

$- y^{3} + y^{2} = x^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- y^{3} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- 3 y^{2} y' + 2 y y'$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 3 y^{2} y' + 2 y y' = 2 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $y y'$ da $- 3 y^{2} y' + 2 y y'$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $y y'$ da $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' (- 3 y) + 2 y y' = 2 x$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $y y'$ da $2 y y'$ .

$y y' (- 3 y) + y y' \cdot 2 = 2 x$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $y y'$ da $y y' (- 3 y) + y y' \cdot 2$ .

$y y' (- 3 y + 2) = 2 x$

Passaggio 5.2

Dividi per $y (- 3 y + 2)$ ciascun termine in $y y' (- 3 y + 2) = 2 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $y (- 3 y + 2)$ ciascun termine in $y y' (- 3 y + 2) = 2 x$ .

$\frac{y y' (- 3 y + 2)}{y (- 3 y + 2)} = \frac{2 x}{y (- 3 y + 2)}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (- 3 y + 2)}{y (- 3 y + 2)} = \frac{2 x}{y (- 3 y + 2)}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- 3 y + 2)}{- 3 y + 2} = \frac{2 x}{y (- 3 y + 2)}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $- 3 y + 2$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 3 y + 2)}{- 3 y + 2} = \frac{2 x}{y (- 3 y + 2)}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{y (- 3 y + 2)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 y$ .

$y' = \frac{2 x}{y (- (3 y) + 2)}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{2 x}{y (- (3 y) - 1 (- 2))}$

Passaggio 5.2.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 y) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{2 x}{y (- (3 y - 2))}$

Passaggio 5.2.3.4

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 5.2.3.4.1

Riscrivi $- (3 y - 2)$ come $- 1 (3 y - 2)$ .

$y' = \frac{2 x}{y (- 1 (3 y - 2))}$

Passaggio 5.2.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{y (3 y - 2)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (3 y - 2)}$