Calcolo Esempi

$- y^{2} + y - x^{2} + y^{3} = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- y^{2} + y - x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- y^{2} + y - x^{2} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- 2 y y' + y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 y y' + y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 y y' + y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 y y' + y' - 2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.5.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$- 2 y y' + y' - 2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.5.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 y y' + y' - 2 x + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.5.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$- 2 y y' + y' - 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- 2 y y' + y' - 2 x + 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.6

Riordina i termini.

$- 2 y y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y'$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 2 y y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y y' + 3 y^{2} y' + y' = 2 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $- 2 y y' + 3 y^{2} y' + y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + 3 y^{2} y' + y' = 2 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' (3 y^{2}) + y' = 2 x$

Passaggio 5.2.3

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' (- 2 y) + y' (3 y^{2}) + y' = 2 x$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' (- 2 y) + y' (3 y^{2}) + y' \cdot 1 = 2 x$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $y'$ da $y' (- 2 y) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (- 2 y + 3 y^{2}) + y' \cdot 1 = 2 x$

Passaggio 5.2.6

Scomponi $y'$ da $y' (- 2 y + 3 y^{2}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 2 y + 3 y^{2} + 1) = 2 x$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = 2 x$

Passaggio 5.4

Dividi per $3 y^{2} - 2 y + 1$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = 2 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $3 y^{2} - 2 y + 1$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{2 x}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{2 x}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2} - 2 y + 1}$