Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} + x}{5 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} + x}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 2.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.5.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} + x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $4 x + 1$ per $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 4 x + 1$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1)$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} (4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} (4 lim_{x \to 0} x + 1)$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} (4 \cdot 0 + 1)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{5} (0 + 1)$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{5}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{5}$

Forma decimale:

$0.2$