Calcolo Esempi

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Passaggio 1

Scrivi $(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ come funzione.

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

Passaggio 4

Sia $u = x + 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $- 3$ e $1$ .

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

Passaggio 5.2

Somma $- 3$ e $2$ .

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Passaggio 6.6

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.7

Riordina $u$ e $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.8

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.9

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.11

Somma $1$ e $1$ .

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.12

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.14

Somma $2$ e $1$ .

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.15

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.16

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.17

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.19

Somma $1$ e $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.20

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.21

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.22

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.23

Somma $1$ e $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

Passaggio 6.24

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

Passaggio 6.25

Sottrai $2 u^{2}$ da $- u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Passaggio 9

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

Passaggio 11

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

Passaggio 13.2.2

$2$ e $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Passaggio 13.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Passaggio 13.2.3.2

Dividi $u^{2}$ per $1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$