Calcolo Esempi

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $3^{- (i + 1)}$ e $3^{- i}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3^{- i}$ da $3^{- (i + 1)}$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

Passaggio 2.2.1.2.4

Dividi $3^{- (i + 1) + i}$ per $1$ .

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$r = 3^{- i - 1 + i}$

Passaggio 2.2.3

Combina i termini opposti in $- i - 1 + i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Somma $- i$ e $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

Passaggio 2.2.3.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$r = 3^{- 1}$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2$ a $i$ in $3^{- i}$ .

$a = 3^{2}$

Passaggio 3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$a = 9$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

Passaggio 5.1.2

Combina.

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ nel numeratore.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $3$ da $3^{6}$ .

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.5

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.8

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.9

$3$ e $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.1

Moltiplica $3$ per $243$ .

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11.2

Sottrai $1$ da $729$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

Passaggio 5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Scomponi $2$ da $728$ .

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 5.7.3

Riscrivi l'espressione.

$9 (\frac{364}{243})$

Passaggio 5.8

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Scomponi $9$ da $243$ .

$9 \frac{364}{9 (27)}$

Passaggio 5.8.2

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

Passaggio 5.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{364}{27}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{364}{27}$

Forma decimale:

$13.\overline{481}$

Forma numero misto:

$13 \frac{13}{27}$