Calcolo Esempi

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

Scomponi $9$ da $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $9$ da $1$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 8.2

Scomponi $9$ da $9 {u_{2}}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Passaggio 8.3

Scomponi $9$ da $9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Passaggio 10

Riscrivi $\frac{1}{9}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

Passaggio 12.1.4

Sposta $3$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

Passaggio 12.2

Riscrivi $- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ come $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

Passaggio 12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

Passaggio 12.3.2

$- 3$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Passaggio 12.3.3

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.3.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Passaggio 12.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Passaggio 12.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Passaggio 12.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Passaggio 12.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$