Calcolo Esempi

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ come $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ .

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Passaggio 4.3.1.1.1

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Passaggio 4.3.1.1.2

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Passaggio 4.3.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Passaggio 4.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

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Passaggio 4.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Passaggio 4.3.1.3.2

Moltiplica $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Passaggio 4.3.1.3.3

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

Passaggio 4.3.1.3.4

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

Passaggio 4.3.1.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

Passaggio 4.3.1.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Passaggio 4.3.2

Riordina i fattori di $- \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $\cos (2 x) \sin (2 x)$ da $- \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Passaggio 4.4

Sposta $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Passaggio 4.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Passaggio 7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 8.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 8.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 8.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 8.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia.

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Passaggio 8.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 8.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 9.2

$u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

Passaggio 11

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 13.3

Moltiplica $\int u_{2} d u_{2}$ per $1$ .

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 14

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 15

Semplifica.

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$