Calcolo Esempi

$y = {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x - 5}{2 x + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 5$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2 x + 1$ per $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.10.1

Somma $2$ e $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - 2 (x - 5)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Combina i termini opposti in $2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot - 5$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{0 + 1 - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{1 - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{1 + 10}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Somma $1$ e $10$ .

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ .

$3 \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}} \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$3$ e $\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}}$ per $\frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{2} \cdot 11}{{(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $11$ per $3$ .

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica ${(2 x + 1)}^{2}$ per ${(2 x + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.4.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2 + 2}}$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{4}}$