Calcolo Esempi

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 8}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 8$ .

$\frac{(x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 8$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 8) (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + 0) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) \cdot 1 - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{(2 x^{2} + 16) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Espandi $(2 x^{2} + 16) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} (x + 1) + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.4

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 ((x + 1) (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.5

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.6.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.6.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.6.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.8.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.8.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{2} x - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.10.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.10.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.10.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.10.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.10.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.10.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.10.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.10.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 + 0 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $2 x^{2} + 16 x + 16$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $4 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $2 x$ da $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} + 14 x + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Scomponi $2$ da $14 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.4

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (7 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.5

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ e la cui somma è $b = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 7 (x) + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Riscrivi $7$ come $- 1$ più $8$ .

$\frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 8) x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} - 1 x + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 (x (- x - 1) - 8 (- x - 1))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 1$ .

$\frac{2 ((- x - 1) (x - 8))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{2 (- (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Riordina i fattori in $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$