Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} - x - 11}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - x - 11$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.8

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - 1 \cdot e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4.1.3

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4.1.4

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4.1.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 11$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4.2

Somma $2 e^{x} x$ e $x e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $2 x e^{x}$ e $x e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4.3

Somma $- e^{x}$ e $11 e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.5

Riordina i termini.

$\frac{3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Scomponi $e^{x}$ da $3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $3 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (3 x) - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.1.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.1.3

Scomponi $e^{x}$ da $10 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.1.4

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2})$ .

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.1.5

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10$ .

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.2

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$\frac{e^{x} (3 u - u^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 u + 10)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.3.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ e la cui somma è $b = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 u$ .

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 (u) + 10)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.3.2.2

Riscrivi $3$ come $- 2$ più $5$ .

$\frac{e^{x} (- u^{2} + (- 2 + 5) u + 10)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} (- u^{2} - 2 u + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.3.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{e^{x} ((- u^{2} - 2 u) + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{e^{x} (u (- u - 2) - 5 (- u - 2))}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.3.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 2$ .

$\frac{e^{x} ((- u - 2) (u - 5))}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$\frac{e^{x} (- x - 2) (x - 5)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{x} (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)}{1}$

Passaggio 4.7.2.4

Dividi $(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$ per $1$ .

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$

Passaggio 4.8

Applica la proprietà distributiva.

$(e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

Passaggio 4.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(- e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

Passaggio 4.10

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$(- e^{- x} x - 2 \cdot e^{- x}) (x - 5)$

Passaggio 4.11

Espandi $(- e^{- x} x - 2 e^{- x}) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- e^{- x} x (x - 5) - 2 e^{- x} (x - 5)$

Passaggio 4.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} (x - 5)$

Passaggio 4.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Passaggio 4.12

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.12.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.12.1.1.1

Sposta $x$ .

$- e^{- x} (x \cdot x) - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Passaggio 4.12.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- e^{- x} x^{2} - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Passaggio 4.12.1.2

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Passaggio 4.12.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Passaggio 4.12.2

Sottrai $2 e^{- x} x$ da $5 e^{- x} x$ .

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Passaggio 4.13

Riordina i fattori in $- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 3 x e^{- x} + 10 e^{- x}$