Calcolo Esempi

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.8.1

Sposta $x$ .

$4 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 2.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.9

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x^{2}}$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 e^{- x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x^{2}$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x^{2}$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} (- (2 x)))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} (- 2 x))$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 8 (x^{3} (e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- 8 x^{3} e^{- x^{2}} + 8 (e^{- x^{2}} (x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 4.2.3

Somma $8 e^{- x^{2}} x$ e $4 e^{- x^{2}} x$ .

$- 8 x^{3} e^{- x^{2}} + 12 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$- 8 e^{- x^{2}} x^{3} + 12 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori in $- 8 e^{- x^{2}} x^{3} + 12 e^{- x^{2}} x$ .

$- 8 x^{3} e^{- x^{2}} + 12 x e^{- x^{2}}$