Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Passaggio 1.2.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (3 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.5.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.5.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (3 x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.3.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + 0}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.5

Somma $- 3 \sin (3 x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{- x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.7.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.7.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.7.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.7.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.7.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.7.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + 0}$

Passaggio 3.9

Somma $- e^{- x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $- 3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 3 lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{- e^{- x}}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Passaggio 6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- 3 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Passaggio 7

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Passaggio 8

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} e^{- x}}$

Passaggio 9

Sposta il limite nell'esponente.

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{lim_{x \to 0} - x}}$

Passaggio 10

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 11

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{0}}$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- 3 \frac{\sin (0)}{- e^{0}}$

Passaggio 12.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 3 \frac{0}{- e^{0}}$

Passaggio 12.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 3 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 3 (\frac{0}{- 1})$

Passaggio 12.4

Dividi $0$ per $- 1$ .

$- 3 \cdot 0$

Passaggio 12.5

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$0$