Calcolo Esempi

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\arctan (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

Passaggio 1.1.1.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.3.1

$2$ e $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

Passaggio 1.1.1.2.3.2

$\frac{2}{1 + x^{4}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Passaggio 1.1.1.2.3.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.2

Moltiplica $x^{4} + 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.6.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.4.3

Somma $3$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.5

Sottrai $4 x^{4}$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.6

$2$ e $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.2.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.3

Scomponi $2$ da $- 6 x^{4} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.3.1

Scomponi $2$ da $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.3.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.5

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.7

Riscrivi $- (3 x^{4} - 1)$ come $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.2.1.2

Dividi $3 x^{4} - 1$ per $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{4} = 1$

Passaggio 1.2.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{4} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{4} = 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.1.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.2.3.5

Semplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Riscrivi $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Passaggio 1.2.3.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Passaggio 1.2.3.5.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 1.2.3.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.2

Eleva $\sqrt[4]{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.4

Somma $1$ e $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.5

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{3}$ come $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.5.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.5.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.5.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ come $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Passaggio 1.2.3.5.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 1.2.3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 1.2.3.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 1.2.3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 {(- 3)}^{4} - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 \cdot 81 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $81$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3

Sottrai $1$ da $243$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $81$ e $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Passaggio 4.2.2.3

Eleva $82$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Passaggio 4.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $2$ per $242$ .

$f'' (- 3) = - \frac{484}{6724}$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $484$ e $6724$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $484$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Passaggio 4.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $6724$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Passaggio 4.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Passaggio 4.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 3) = - \frac{121}{1681}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ perché $f'' (- 3)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{1 + 4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{5} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $1$ da $243$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.3.2

Somma $81$ e $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Passaggio 6.2.3.3

Eleva $82$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Passaggio 6.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $2$ per $242$ .

$f'' (3) = - \frac{484}{6724}$

Passaggio 6.2.4.2

Elimina il fattore comune di $484$ e $6724$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Scomponi $4$ da $484$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.2.1

Scomponi $4$ da $6724$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Passaggio 6.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Passaggio 6.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (3) = - \frac{121}{1681}$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ perché $f'' (3)$ è negativo.

Funzione concava su $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8