Calcolo Esempi

$e^{2 x} + 1$

Passaggio 1

Scrivi $e^{2 x} + 1$ come funzione.

$f (x) = e^{2 x} + 1$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{2 x} + 1 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{2 x} d x + \int d x$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int d x$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int d x$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int d x$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + x + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + x + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + x + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + x + C$