Calcolo Esempi

$\int x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$ , $u = x^{3} + 1$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{3} + 1$ e $d u = 3 x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{3} + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{(\sqrt[3]{u_{1} - 1} + 1) (\sqrt[3]{{(u_{1} - 1)}^{2}} - \sqrt[3]{u_{1} - 1} + 1)}}{3} d u_{1}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{(\sqrt[3]{u_{1} - 1} + 1) (\sqrt[3]{{(u_{1} - 1)}^{2}} - \sqrt[3]{u_{1} - 1} + 1)} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = u_{1} - 1$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = u_{1} - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{1} - 1$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \sqrt{(\sqrt[3]{u_{2}} + 1) (\sqrt[3]{{u_{2}}^{2}} - \sqrt[3]{u_{2}} + 1)} d u_{2}$

Passaggio 4

Sia $u_{3} = (\sqrt[3]{u_{2}} + 1) (\sqrt[3]{{u_{2}}^{2}} - \sqrt[3]{u_{2}} + 1)$ . Allora $d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{3} = (\sqrt[3]{u_{2}} + 1) (\sqrt[3]{{u_{2}}^{2}} - \sqrt[3]{u_{2}} + 1)$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $(\sqrt[3]{u_{2}} + 1) (\sqrt[3]{{u_{2}}^{2}} - \sqrt[3]{u_{2}} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [(\sqrt[3]{u_{2}} + 1) (\sqrt[3]{{u_{2}}^{2}} - \sqrt[3]{u_{2}} + 1)]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\sqrt[3]{{u_{2}}^{2}} - \sqrt[3]{u_{2}} + 1)]$

Passaggio 4.1.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{u_{2}}^{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{u_{2}} + 1)]$

Passaggio 4.1.2.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1)]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [f (u_{2}) g (u_{2})]$ è $f (u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [g (u_{2})] + g (u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [f (u_{2})]$ dove $f (u_{2}) = {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1$ e $g (u_{2}) = {u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1] + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.8.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.9.2

$\frac{2}{3}$ e ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.9.3

Sposta ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $- {u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u_{2}$ è $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}]$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.12

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.13

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.15.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.16

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.16.2

$\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{- \frac{2}{3}}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{{u_{2}}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.16.3

Sposta ${u_{2}}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [1]) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.17

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{2}$ è $0$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 0) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.18

Somma $\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1]$

Passaggio 4.1.19

Secondo la regola della somma, la derivata di ${u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d u_{2}} [1])$

Passaggio 4.1.20

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d u_{2}} [1])$

Passaggio 4.1.21

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

Passaggio 4.1.22

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

Passaggio 4.1.23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

Passaggio 4.1.24

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.24.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

Passaggio 4.1.24.2

Sottrai $3$ da $1$ .

Passaggio 4.1.25

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.25.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Passaggio 4.1.25.2

$\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{- \frac{2}{3}}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{{u_{2}}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d u_{2}} [1])$

Passaggio 4.1.25.3

Sposta ${u_{2}}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

Passaggio 4.1.26

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{2}$ è $0$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 0)$

Passaggio 4.1.27

Somma $\frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + ({u_{2}}^{\frac{2}{3}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.1

Applica la proprietà distributiva.

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + {u_{2}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.2.1

${u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 4.1.28.2.3

Riscrivi l'espressione.

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{1}{3} - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.4

$\frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$ e ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{1}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.5

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}}} + 1 \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.6

Moltiplica ${u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ per ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.2.6.1

Sposta ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 ({u_{2}}^{- \frac{1}{3}} {u_{2}}^{\frac{2}{3}})} + 1 \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{- 1 + 2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.6.4

Somma $- 1$ e $2$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 1 \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.7

Moltiplica $\frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.8

Per scrivere $({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.9

$({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) \cdot 3 + 1}{3} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.2.11

Sposta $3$ alla sinistra di $({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{3 ({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.3

Riordina i termini.

$\frac{3 ({u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 1) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{(3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 3) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.3

Espandi $(3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 3) (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 3 (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 3 (\frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 3 \frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.1

Elimina il fattore comune di $3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + 3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 3 \frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.2

Elimina il fattore comune di ${u_{2}}^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$ nel numeratore.

$\frac{2 + 3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \frac{- 1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.2.2

Scomponi ${u_{2}}^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ da $3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 (1) \frac{- 1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.2.3

Scomponi ${u_{2}}^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ da $3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 (1) \frac{- 1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 ({u_{2}}^{\frac{1}{3}})} + 3 \frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 \cdot 1 \frac{- 1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 \frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + \frac{- 1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 \frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 \frac{2}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 (- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$ nel numeratore.

$\frac{2 - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 \frac{- 1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + 3 \frac{- 1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + \frac{- 1 + 2}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.4.3

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{2 + \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + 1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3 + \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.6

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.8

Per scrivere $\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.9.1

Moltiplica $\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{\frac{(3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}} {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.9.2

Moltiplica ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ per ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.9.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{(3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.9.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{(3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{1 + 1}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.9.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{(3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{(3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1) {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.11.2

Moltiplica ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ per ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.4.1.11.2.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{3 ({u_{2}}^{\frac{1}{3}} {u_{2}}^{\frac{1}{3}}) + 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.11.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1 + 1}{3}} + 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.11.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.1.11.3

Moltiplica ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.3

Moltiplica $\frac{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{{u_{2}}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.4.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1 + 1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.6

Combina i termini opposti in $\frac{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 1 + 1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.6.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 0}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.6.2

Somma $3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ e $0$ .

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.7.1

Scomponi ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ da $3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.7.1.1

Scomponi ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ da $3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{\frac{1}{3}} (3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.7.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{{u_{2}}^{\frac{1}{3}} (3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.7.1.3

Scomponi ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ da ${u_{2}}^{\frac{1}{3}} (3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\frac{{u_{2}}^{\frac{1}{3}} (3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1)}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.7.2

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1}{3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.7.3

Moltiplica ${u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ per ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.7.3.1

Sposta ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1}{3 ({u_{2}}^{- \frac{1}{3}} {u_{2}}^{\frac{2}{3}})} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.7.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1}{3 {u_{2}}^{- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.7.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1}{3 {u_{2}}^{\frac{- 1 + 2}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.7.3.4

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1 - 1}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.9

Combina i termini opposti in $3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.28.9.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + 0}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.9.2

Somma $3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ e $0$ .

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.10

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{3 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.11

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.12

Elimina il fattore comune.

$\frac{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.28.13

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{3}}$ come ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2

Riscrivi $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$ come $\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $(\sqrt[3]{u_{2}} + 1) (\sqrt[3]{{u_{2}}^{2}} - \sqrt[3]{u_{2}} + 1)$ .

$\frac{2}{9} {((\sqrt[3]{u_{2}} + 1) (\sqrt[3]{{u_{2}}^{2}} - \sqrt[3]{u_{2}} + 1))}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $u_{1} - 1$ .

$\frac{2}{9} {((\sqrt[3]{u_{1} - 1} + 1) (\sqrt[3]{{(u_{1} - 1)}^{2}} - \sqrt[3]{u_{1} - 1} + 1))}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{9} {((\sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1} + 1) (\sqrt[3]{{(x^{3} + 1 - 1)}^{2}} - \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1} + 1))}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2}{9} {((\sqrt[3]{x^{3} + 0} + 1) (\sqrt[3]{{(x^{3} + 1 - 1)}^{2}} - \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1} + 1))}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.2

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{2}{9} {((\sqrt[3]{x^{3}} + 1) (\sqrt[3]{{(x^{3} + 1 - 1)}^{2}} - \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1} + 1))}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2}{9} {((\sqrt[3]{x^{3}} + 1) (\sqrt[3]{{(x^{3} + 0)}^{2}} - \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1} + 1))}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.4

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{2}{9} {((\sqrt[3]{x^{3}} + 1) (\sqrt[3]{{(x^{3})}^{2}} - \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1} + 1))}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2}{9} {((\sqrt[3]{x^{3}} + 1) (\sqrt[3]{{(x^{3})}^{2}} - \sqrt[3]{x^{3} + 0} + 1))}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.6

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{2}{9} {((\sqrt[3]{x^{3}} + 1) (\sqrt[3]{{(x^{3})}^{2}} - \sqrt[3]{x^{3}} + 1))}^{\frac{3}{2}} + C$