Calcolo Esempi

$f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int {(3 x + 2)}^{4} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 3 x + 2$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 3 x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Passaggio 5

$u^{4}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.1

Sposta $x^{6}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Passaggio 9.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Passaggio 9.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{- 6} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

$x^{- 5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

Passaggio 11.1.2

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Passaggio 11.3

Semplifica.

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{1}{15} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Passaggio 11.3.4

Moltiplica $\frac{1}{5 x^{5}}$ per $1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 2$ .

$\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$