Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $3$ da $3 \cos (3 θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

Passaggio 1.2

Applica la regola del prodotto a $3 (\cos (3 θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Passaggio 1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

Passaggio 2

Poiché $9$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 3 θ$ . Allora $d u_{1} = 3 d θ$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = 3 θ$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $3 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $3 θ$ rispetto a $θ$ è $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $θ$ in $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $θ$ in $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 4

$\cos^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $9$ .

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 7

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 12

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 12.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 12.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 12.2

Sostituisci il limite inferiore a $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 12.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 12.4

Sostituisci il limite superiore a $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 12.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 12.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 12.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Passaggio 12.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 13

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 15

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Passaggio 16

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 16.1

Calcola $u_{1}$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Passaggio 16.2

Calcola $\sin (u_{2})$ per $π$ e per $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Passaggio 16.3

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Passaggio 17.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Passaggio 17.3

Somma $\sin (π)$ e $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Passaggio 17.4

$\frac{1}{2}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Passaggio 18.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 18.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Passaggio 18.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Passaggio 18.3

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 18.4

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 18.4.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 18.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 19

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3 π}{4}$

Forma decimale:

$2.35619449 \dots$