Calcolo Esempi

$\frac{1}{X^{3} + X}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{X^{3} + X}$ come funzione.

$f (X) = \frac{1}{X^{3} + X}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (X)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (X)$ .

$F (X) = \int f (X) d X$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (X) = \int \frac{1}{X^{3} + X} d X$

Passaggio 4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $X$ da $X^{3} + X$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Scomponi $X$ da $X^{3}$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X}$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $X$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X^{1}}$

Passaggio 4.1.1.3

Scomponi $X$ da $X^{1}$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X \cdot 1}$

Passaggio 4.1.1.4

Scomponi $X$ da $X \cdot X^{2} + X \cdot 1$ .

$\frac{1}{X (X^{2} + 1)}$

Passaggio 4.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{X} + \frac{B X + C}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $X (X^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (X (X^{2} + 1))}{X (X^{2} + 1)} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $X$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (X (X^{2} + 1))}{X (X^{2} + 1)} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (X^{2} + 1)}{X^{2} + 1} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di $X^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (X^{2} + 1)}{X^{2} + 1} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Elimina il fattore comune di $X$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.6.1.2

Dividi $A (X^{2} + 1)$ per $1$ .

$1 = A (X^{2} + 1) + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A X^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.6.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A X^{2} + A + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.6.4

Elimina il fattore comune di $X^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A X^{2} + A + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.6.4.2

Dividi $(B X + C) (X)$ per $1$ .

$1 = A X^{2} + A + (B X + C) (X)$

Passaggio 4.1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A X^{2} + A + B X \cdot X + C X$

Passaggio 4.1.6.6

Moltiplica $X$ per $X$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.6.1

Sposta $X$ .

$1 = A X^{2} + A + B (X \cdot X) + C X$

Passaggio 4.1.6.6.2

Moltiplica $X$ per $X$ .

$1 = A X^{2} + A + B X^{2} + C X$

Passaggio 4.1.7

Sposta $A$ .

$1 = A X^{2} + B X^{2} + C X + A$

Passaggio 4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $X^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $X$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 4.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $X$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 4.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Passaggio 4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 4.3.4

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 4.3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 4.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Passaggio 4.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{X} + \frac{B X + C}{X^{2} + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- 1 X + 0}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{X} + \frac{(- 1) \cdot X + 0}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Riscrivi $- 1 X$ come $- X$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- X + 0}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Somma $- X$ e $0$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- X}{X^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{X} - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{X} d X + \int - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{X}$ rispetto a $X$ è $\ln (| X |)$ .

$\ln (| X |) + C + \int - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $X$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| X |) + C - \int \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Passaggio 8

Sia $u = X^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 X d X$ , quindi $\frac{1}{2} d u = X d X$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = X^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d X}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $X^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d X} [X^{2} + 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $X^{2} + 1$ rispetto a $X$ è $\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [1]$ .

$\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ è $n X^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 X + \frac{d}{d X} [1]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $X$ , la derivata di $1$ rispetto a $X$ è $0$ .

$2 X + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $2 X$ e $0$ .

$2 X$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| X |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| X |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $X^{2} + 1$ .

$\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| X^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (X) = \frac{1}{X^{3} + X}$ .

$F (X) =$ $\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| X^{2} + 1 |) + C$