Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- \frac{3}{20}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{20} x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.4

$- 5$ e $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.6

$\frac{- 15}{20}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 15$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Scomponi $5$ da $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.2.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 8 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 24 x^{2}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{3 x^{4}}{4} + 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- \frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 x^{4}}{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.4

$- 4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.5

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.6

$\frac{- 12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.7

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.7.1

Scomponi $4$ da $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.7.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.7.2.4

Dividi $- 3 x^{3}$ per $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 24 (2 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 48 x$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{3} + 48 x$ .

$- 3 x^{3} + 48 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{3} + 48 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 3 x^{3} + 48 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{3} + 48 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 48 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $- 3 x$ da $48 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 16 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 16)$ .

$- 3 x (x^{2} - 16) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$- 3 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 x (x + 4) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4, 4$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} + 8 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot 0 + 8 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- \frac{3}{20} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{3}{20}) + 8 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{20}$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 4$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = - \frac{3}{20} \cdot {(- 4)}^{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $5$ .

$f (- 4) = - \frac{3}{20} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{20}$ nel numeratore.

$f (- 4) = \frac{- 3}{20} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Scomponi $4$ da $20$ .

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Scomponi $4$ da $- 1024$ .

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 256) + 8 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 256) + 8 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- 4) = \frac{- 3}{5} \cdot - 256 + 8 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.3

$\frac{- 3}{5}$ e $- 256$ .

$f (- 4) = \frac{- 3 \cdot - 256}{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 256$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} + 8 \cdot - 64$

Passaggio 3.3.2.1.6

Moltiplica $8$ per $- 64$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} - 512$

Passaggio 3.3.2.2

Per scrivere $- 512$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} - 512 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.3.2.3

$- 512$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} + \frac{- 512 \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 4) = \frac{768 - 512 \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Moltiplica $- 512$ per $5$ .

$f (- 4) = \frac{768 - 2560}{5}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Sottrai $2560$ da $768$ .

$f (- 4) = \frac{- 1792}{5}$

Passaggio 3.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 4) = - \frac{1792}{5}$

Passaggio 3.3.2.7

La risposta finale è $- \frac{1792}{5}$ .

$- \frac{1792}{5}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 4$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ è $(- 4, - \frac{1792}{5})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 4, - \frac{1792}{5})$

Passaggio 3.5

Sostituisci $4$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = - \frac{3}{20} \cdot {(4)}^{5} + 8 {(4)}^{3}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$f (4) = - \frac{3}{20} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{20}$ nel numeratore.

$f (4) = \frac{- 3}{20} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.2.2

Scomponi $4$ da $20$ .

$f (4) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.2.3

Scomponi $4$ da $1024$ .

$f (4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 256) + 8 {(4)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 256) + 8 {(4)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (4) = \frac{- 3}{5} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.3

$\frac{- 3}{5}$ e $256$ .

$f (4) = \frac{- 3 \cdot 256}{5} + 8 {(4)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $256$ .

$f (4) = \frac{- 768}{5} + 8 {(4)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (4) = - \frac{768}{5} + 8 {(4)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + 8 \cdot 64$

Passaggio 3.5.2.1.7

Moltiplica $8$ per $64$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + 512$

Passaggio 3.5.2.2

Per scrivere $512$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + 512 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.5.2.3

$512$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + \frac{512 \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = \frac{- 768 + 512 \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.1

Moltiplica $512$ per $5$ .

$f (4) = \frac{- 768 + 2560}{5}$

Passaggio 3.5.2.5.2

Somma $- 768$ e $2560$ .

$f (4) = \frac{1792}{5}$

Passaggio 3.5.2.6

La risposta finale è $\frac{1792}{5}$ .

$\frac{1792}{5}$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $4$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ è $(4, \frac{1792}{5})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(4, \frac{1792}{5})$

Passaggio 3.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 4, - \frac{1792}{5}), (4, \frac{1792}{5})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4.1$ nell'espressione.

$f'' (- 4.1) = - 3 {(- 4.1)}^{3} + 48 (- 4.1)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 4.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4.1) = - 3 \cdot - 68.921 + 48 (- 4.1)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 68.921$ .

$f'' (- 4.1) = 206.763 + 48 (- 4.1)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $48$ per $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 206.763 - 196.8$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $196.8$ da $206.763$ .

$f'' (- 4.1) = 9.963$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $9.963$ .

$9.963$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 4.1$ , la derivata seconda è $9.963$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 4)$ .

Crescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{3} + 48 (- 2)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 2) = - 3 \cdot - 8 + 48 (- 2)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 8$ .

$f'' (- 2) = 24 + 48 (- 2)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $48$ per $- 2$ .

$f'' (- 2) = 24 - 96$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $96$ da $24$ .

$f'' (- 2) = - 72$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 72$ .

$- 72$

Passaggio 6.3

Per $- 2$ , la derivata seconda è $- 72$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 4, 0)$ .

Decrescente su $(- 4, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = - 3 {(2)}^{3} + 48 (2)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2) = - 3 \cdot 8 + 48 (2)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$f'' (2) = - 24 + 48 (2)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $48$ per $2$ .

$f'' (2) = - 24 + 96$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 24$ e $96$ .

$f'' (2) = 72$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $72$ .

$72$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2$ , la derivata seconda è $72$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, 4)$ .

Crescente su $(0, 4)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.1$ nell'espressione.

$f'' (4.1) = - 3 {(4.1)}^{3} + 48 (4.1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $4.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4.1) = - 3 \cdot 68.921 + 48 (4.1)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $68.921$ .

$f'' (4.1) = - 206.763 + 48 (4.1)$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $48$ per $4.1$ .

$f'' (4.1) = - 206.763 + 196.8$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 206.763$ e $196.8$ .

$f'' (4.1) = - 9.963$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 9.963$ .

$- 9.963$

Passaggio 8.3

Per $4.1$ , la derivata seconda è $- 9.963$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 4, - \frac{1792}{5}), (0, 0), (4, \frac{1792}{5})$ .

$(- 4, - \frac{1792}{5}), (0, 0), (4, \frac{1792}{5})$

Passaggio 10