Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x - 2 x^{3} - 2$ is concave down at $x = 1$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 5 (1) - 2 \cdot 1^{3} - 2$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

Passaggio 1.2.3

Semplifica $5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$y = 5 - 2 {(1)}^{3} - 2$

Passaggio 1.2.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 5 - 2 \cdot 1 - 2$

Passaggio 1.2.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$y = 5 - 2 - 2$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Sottrai $2$ da $5$ .

$y = 3 - 2$

Passaggio 1.2.3.2.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$y = 1$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 2 x^{3} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$5 - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 - 6 x^{2} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma $5 - 6 x^{2}$ e $0$ .

$5 - 6 x^{2}$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$- 6 x^{2} + 5$

Passaggio 2.6

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- 6 {(1)}^{2} + 5$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 6 \cdot 1 + 5$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6 + 5$

Passaggio 2.7.2

Somma $- 6$ e $5$ .

$- 1$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(1, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $- 1 \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - x + 1 + 1$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$y = - x + 2$

Passaggio 4