Calcolo Esempi

$2 x \ln (5 x^{2})$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \ln (5 x^{2})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{5 x^{2}}$ e $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.3.1

Scomponi $x$ da $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.4.1

$5$ e $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.6.1

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6.2

$\frac{2}{x}$ e $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.6.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

Passaggio 4.8

Moltiplica $\ln (5 x^{2})$ per $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$2 \ln (5 x^{2}) + 4$