Calcolo Esempi

$\frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 6

Sia $u = 4 x + 3$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = 4 x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 6.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 7.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 9.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 9.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 9.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 9.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 9.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 9.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 9.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 9.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{5}} d x$

Passaggio 12

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Passaggio 13.2

Sposta $x^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Passaggio 13.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 13.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{- 5} d x$

Passaggio 14

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$x^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Passaggio 15.1.2

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Passaggio 15.2

Semplifica.

$u^{\frac{1}{2}} - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Passaggio 15.3

Semplifica.

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Passaggio 15.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$u^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Passaggio 15.3.2

$4$ e $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

Passaggio 15.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 15.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

Passaggio 15.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

Passaggio 16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + 3$ .

${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$