Calcolo Esempi

$y = \frac{5 + \tan (x)}{2 x + e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 5 + \tan (x)$ e $g (x) = 2 x + e^{x}$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 + \tan (x)] - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) + (- 1 \cdot 5 - \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) + (- 5 - \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Espandi $(- 5 - \tan (x)) (2 + e^{x})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 5 (2 + e^{x}) - \tan (x) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 5 \cdot 2 - 5 e^{x} - \tan (x) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 5 \cdot 2 - 5 e^{x} - \tan (x) \cdot 2 - \tan (x) e^{x}}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.3.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - \tan (x) \cdot 2 - \tan (x) e^{x}}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x) - \tan (x) e^{x}}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Riordina i fattori in $2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x) - \tan (x) e^{x}$ .

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x) - e^{x} \tan (x)}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4

Riordina i termini.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - e^{x} \tan (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x)}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$