Calcolo Esempi

$y = \sin (2 x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (2 x))$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = 2 x$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\cos (2 x) (2 x')$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori di $\cos (2 x) (2 x')$ .

$2 \cos (2 x) x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = 2 \cos (2 x) x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $2 \cos (2 x) x' = 1$ .

$2 \cos (2 x) x' = 1$

Passaggio 5.2

Dividi per $2 \cos (2 x)$ ciascun termine in $2 \cos (2 x) x' = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $2 \cos (2 x)$ ciascun termine in $2 \cos (2 x) x' = 1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Frazioni separate.

$x' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Passaggio 5.2.3.2

Converti da $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$x' = \frac{1}{2} \sec (2 x)$

Passaggio 5.2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $\sec (2 x)$ .

$x' = \frac{\sec (2 x)}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\sec (2 x)}{2}$