Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x + \sin (x)}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.6.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{0 + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \cos (x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $2 x - 2 + \cos (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x - 2 + \cos (x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + \cos (0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 - 1 \cdot 2 + \cos (0)$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 - 2 + \cos (0)$

Passaggio 4.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 - 2 + 1$

Passaggio 4.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2 + 1$

Passaggio 4.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$- 1$