Calcolo Esempi

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.1.2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.2.7

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Riscrivi ${(1 - 2 x)}^{2}$ come $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

Passaggio 1.1.2.2

Espandi $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 2 x$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Passaggio 1.1.2.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Passaggio 1.1.2.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Passaggio 1.1.2.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

Passaggio 1.1.2.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 4 x + 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.7

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.8

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.11

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

Passaggio 1.1.2.13

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- 6 (- 4 + 8 x)$

Passaggio 1.1.2.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

Passaggio 1.1.2.14.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.14.2.1

Moltiplica $- 6$ per $- 4$ .

$24 - 6 (8 x)$

Passaggio 1.1.2.14.2.2

Moltiplica $8$ per $- 6$ .

$24 - 48 x$

Passaggio 1.1.2.14.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = - 48 x + 24$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 48 x + 24$ .

$- 48 x + 24$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 48 x + 24 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 48 x + 24 = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $24$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 48 x = - 24$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $- 48$ ciascun termine in $- 48 x = - 24$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $- 48$ ciascun termine in $- 48 x = - 24$ .

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 48}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $- 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1.1

Scomponi $- 24$ da $- 24$ .

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

Passaggio 1.2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1.2.1

Scomponi $- 24$ da $- 48$ .

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 48$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $24$ .

$f'' (0) = 24$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $24$ .

$24$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Il grafico è una funzione convessa

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(\frac{1}{2}, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 48$ per $3$ .

$f'' (3) = - 144 + 24$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 144$ e $24$ .

$f'' (3) = - 120$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 120$ .

$- 120$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(\frac{1}{2}, \infty)$ perché $f'' (3)$ è negativo.

Il grafico è una funzione concava

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Il grafico è una funzione convessa

Il grafico è una funzione concava

Passaggio 7