Calcolo Esempi

$(x + x^{2}) e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + x^{2}$ e $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$(x + x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$(x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x + x^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$(x + x^{2}) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $(x + x^{2}) e^{- 2 x}$ .

$- 2 \cdot ((x + x^{2}) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(- 2 x - 2 x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \cdot 1 + e^{- 2 x} (2 x)$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $e^{- 2 x}$ per $1$ .

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 x)$

Passaggio 4.4.2

Somma $- 2 x e^{- 2 x}$ e $e^{- 2 x} (2 x)$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Sposta $e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $- 2 x e^{- 2 x}$ e $2 x e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 0$

Passaggio 4.4.3

Somma $- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ e $0$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Passaggio 4.5

Riordina i termini.

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$

Passaggio 4.6

Riordina i fattori in $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$